Turunan trigonometri

TURUNAN TRIGONOMETRI

Jika kita akan menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita menentukan hasilnya….
jika f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h maka
Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus :
f(x)=sinx maka f′(x)=cosx
f(x)=cosx maka f′(x)=−sinx
f(x)=a.sin(bx+c) maka f′(x)=ab.cos(bx+c)
f(x)=a.cos(bx+c) maka f′(x)=−ab.sin(bx+c)
contoh:

1. f(x)=5cosx maka f′(x)=−5sinx
   
2. f(x)=2sin3x maka f′(x)=6cos3x
   
3. f(x)=4.cos(3x+π)
   

f′(x)==−4.3.sin(3x+π)−12.sin(3x+π)

Rumus-rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan soal turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya. Silahkan mencoba:

1. f(x)=secx tentukan f‘(x) !
   
   Jawab :
   f(x)==secx1cosx
   u=1v=cosxmakamakau′=0v′=−sinx
   f′(x)=====u′.v−v′.uv20.cosx−(−sinx).1(cosx)2sinxcos2xsinxcosx.1cosxtanx.secx
2. f(x)=(x2+2).sinx tentukan  f‘(x) !
   
   Jawab :
   u=x2+2v=sinxmakamakau′=2xv′=cosx
   f′(x)===u′.v+v′.u2x.sinx+cosx.(x2+2)2xsinx+x2.cosx+2cosx

Turunan ke-n

Diberikan fungsi f(x), maka :

turunan pertama dari f(x) adalah f′(x) ;
turunan kedua dari f(x) adalah f′′(x) ;
turunan ketiga dari f(x) adalah f′′′(x) dst.

1. f(x)=4x2.cosx tentukan turunan kedua dari f(x)!
   
   Jawab :
   • kita cari turunan pertama dulu ya..
     
     u=4x2v=cosxmakamakau′=8xv′=−sinx
     f′(x)===u′.v+v′.u8x.cosx+(−sinx).4x28x.cosx−4x2.sinx
   • perhatikan untuk f′(x)=8x.cosx−4x2.sinx mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku f‘(x) adalah a dan b dimana f‘(x)=a–b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f”(x)=a′–b′ mari kita cari turunan masing-masing suku…
     
   • ambil suku pertama dari f‘(x) kita misalkan a=8x.cosx
     
     u=8xv=cosxmakamakau′=8v′=−sinx
     a′===u′.v+v′.u8.cosx+(−sinx).8x8.cosx−8x.sinx
   • ambil suku kedua dari f‘(x) kita misalkan b=4x2.sinx
     
     u=4x2v=sinxmakamakau′=8xv′=cosx
     b′===u′.v+v′.u8x.sinx+(cosx).4x28x.sinx+4x2.cosx
   • nah, kembali ke f′′(x)=a′−b′
     
     f′′(x)====a′−b′(8.cosx−8x.sinx)−(8x.sinx+4x2.cosx)8.cosx−8x.sinx−8x.sinx−4x2.cosx8.cosx−16sinx−4x2.cosx
   selesai,deh…..coba yang lain yuk!
   
2. f(x)=x.cosx+sinx tentukan turunan ke-empat dari f(x) !
   
   Jawab :
   • f(x)=x.cosx+sinx mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f‘(x)=a‘+b‘ cari turunan masing-masing suku dulu ya…
     a=x.cosx
     
     u=xv=cosxmakamakau′=1v′=−sinx
     a′===u′.v+v′.u1.cosx+(−sinx).xcosx−x.sinx
     b=sinx maka b′=cosx
     
     f′(x)===a′+b′(cosx−x.sinx)+(cosx)2.cosx−x.sinx
   • f′(x)=2.cosx−x.sinx mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f”(x)=c‘–d‘
     c=2.cosx maka c′=−2.sinx
     d=x.sinx
     
     u=xv=sinxmakamakau′=1v′=cosx
     d′===u′.v+v′.u1.sinx+cosx.xsinx+x.cosx
     f′′(x)====c′−d′(−2.sinx)−(sinx+x.cosx)−2.sinx−sinx−x.cosx−3.sinx−x.cosx
   • f′′(x)=−3.sinx−x.cosx mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas a=x.cosx maka a′=cosx−x.sinx
     sehingga :
     
     f′′′(x)===−3.cosx−(cosx−x.sinx)−3.cosx−cosx+x.sinx−4.cosx+x.sinx
   • f′′′(x)=−4.cosx+x.sinx mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas d=x.sinx maka d′=sinx+x.cosx
     sehingga :
     
     f′′′′(x)===−4.(−sinx)+(sinx+x.cosx)4.sinx+sinx+x.cosx5.sinx+x.cosx
   waaaaah…..selesai !!!!
   begitu seterusnya hingga turunan ke-n …..coba sendiri dengan soal yang lain yah…!!
   ada yang bertanya soal seperti ini:
   
3. Jika diketahui y=sinx buktikan bahwa turunan ke-n yaitu yn=sin(x+π2.n) !
   
   Jawab :
   ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran
   
   

   		sehingga yn=sin(x+π2.n) terbukti