Sejarah Singkat dan Penjelasan Persamaan Diophanthine

Diophantus, matematikawan Alexandria abad ke-3, terkenal dengan karyanya “Arithmetica” yang terdiri dari
13 jilid. (Namun, beberapa jilid di antaranya musnah terbakar ketika Museum dan Perpustakaan Besar-nya diserbu massa, pada abad ke-4 dan abad ke-7.)

Salah satu warisan Diophantus adalah persamaan yang kita kenal sekarang sebagai Persamaan Diophantine, yaitu persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat dan solusi yang dikehendaki juga merupakan bilangan bulat.

Diophantus 

Contoh Persamaan Diophantine yang paling klasik adalah persamaan ax + by = c, dengan a, b, dan c diketahui, misalnya 15x + 11y = 12. Bagaimana mencari solusi persamaan ini?

Karena 15 dan 11 relatif prima (faktor persekutuan terbesarnya sama dengan 1), kita dapat menemukan bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga 15x + 11y = 1 dengan menggunakan Algoritma Euclid:

15 = 1(11) + 4

11 = 2(4) + 3

4 = 1(3) + 1

3 = 3(1) + 0.

Bila kita telusuri dari persamaan kedua terakhir, maka kita peroleh:

1 = 4 – 1(3)

= 4 – 1[11 – 2(4)] = 3(4) – 1(11)

= 3[15 – 1(11)] – 1(11) = 3(15) – 4(11).

Dengan demikian kita dapatkan solusi persamaan 15x + 11y = 1, yaitu x = 3 dan y = -4. (Tetapi ini bukan satu-satunya solusi. Solusi umum dari persamaan 15x + 11y = 1 adalah x = 3 – 11k dan y = -4 + 15k, dengan k bilangan bulat.)

Nah, solusi dari persamaan 15x + 11y = 12 sekarang dapat kita peroleh dengan mengalikan solusi dari persamaan 15x + 11y = 1 dengan 12. Jadi, solusi yang kita cari adalah x = 36 dan y = -48. Solusi umumnya adalah x = 36 – 11k dan y = -48 + 15k.

Ternyata persamaan Diophantine mudah bukan? kalau sekilas melihat namanya saja pasti terlintas dalam pikiran kita terasa sulit. Namun jika sudah mempelajari dengan seksama pasti akan bisa.