Diophantus, matematikawan Alexandria abad ke-3, terkenal dengan karyanya “Arithmetica” yang terdiri dari
13 jilid. (Namun, beberapa jilid di antaranya musnah terbakar ketika Museum dan Perpustakaan Besar-nya diserbu massa, pada abad ke-4 dan abad ke-7.)
Salah satu warisan Diophantus adalah persamaan yang kita kenal sekarang sebagai Persamaan Diophantine, yaitu persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat dan solusi yang dikehendaki juga merupakan bilangan bulat.
 |
| Diophantus |
Contoh Persamaan Diophantine yang paling klasik adalah persamaan ax + by = c, dengan a, b, dan c diketahui, misalnya 15x + 11y = 12. Bagaimana mencari solusi persamaan ini?
Karena 15 dan 11 relatif prima (faktor persekutuan terbesarnya sama dengan 1), kita dapat menemukan bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga 15x + 11y = 1 dengan menggunakan Algoritma Euclid:
15 = 1(11) + 4
11 = 2(4) + 3
4 = 1(3) + 1
3 = 3(1) + 0.
Bila kita telusuri dari persamaan kedua terakhir, maka kita peroleh:
1 = 4 – 1(3)
= 4 – 1[11 – 2(4)] = 3(4) – 1(11)
= 3[15 – 1(11)] – 1(11) = 3(15) – 4(11).
Dengan demikian kita dapatkan solusi persamaan 15x + 11y = 1, yaitu x = 3 dan y = -4. (Tetapi ini bukan satu-satunya solusi. Solusi umum dari persamaan 15x + 11y = 1 adalah x = 3 – 11k dan y = -4 + 15k, dengan k bilangan bulat.)
Nah, solusi dari persamaan 15x + 11y = 12 sekarang dapat kita peroleh dengan mengalikan solusi dari persamaan 15x + 11y = 1 dengan 12. Jadi, solusi yang kita cari adalah x = 36 dan y = -48. Solusi umumnya adalah x = 36 – 11k dan y = -48 + 15k.
Ternyata persamaan Diophantine mudah bukan? kalau sekilas melihat namanya saja pasti terlintas dalam pikiran kita terasa sulit. Namun jika sudah mempelajari dengan seksama pasti akan bisa.
Post a Comment