SUBSPACE (RUANG VEKTOR BAGIAN)

DEFINISI

Himpunan bagian W dari ruang vektor V(R) adalah subruang dari V(R) jika W sendiri merupakan ruang vektor terhadap operasi yang sama yang berlaku pada V(R).

TEOREMA

Misal V ruang vektor dan W¹Æ , W Ì V dikatakan ruang bagian (subspace) dari V jika dan hanya jika hanya jika setiap u, v Î W dan k Î R berlaku:

a. u + v Î W, " u, v Î W

b. ku Î W, " k Î R, u Î W.

Bukti :

(Þ) Diketahui : W ruang bagian dari V

Menurut definisi, W ruang vektor sehingga memenuhi aksioma a dan b.

(Ü) Diketahui aksioma a dan b

Karena V ruang vektor dan W Ì V, maka aksioma 2,3,7,8,9,10 juga dipenuhi pada W sehingga tinggal membuktikan 1,4,5, dan 6.

Karena diketahui a dan b, maka aksioma 1 dan 6 dipenuhi, tinggal membuktikan aksioma 4 dan 5.

Diket: ku Î W dan u + v Î W

Pilih k = 0 maka diperoleh ku = 0u = 0 Î W

Pilih k = -1 maka ku = -1u = -u Î W

Sehingga kita dapat memilih

v = -u Î W, maka u + v = u + (-u) = 0 Î W (aksioma 5)

Dan v = 0 Î W , maka u + v = u + 0 = u Î W (aksioma 4)

Jadi W ruang bagian dari V

CONTOH SOAL

Misalkan W = {(x, 0)| x Î R}. Tunjukkan bahwa W adalah subruang dari R2

Bukti:

1. Jelas W Ì R2

Jelas (x, 0) Î W

Jadi W¹Æ

2. Ambil sembarang u = (u1 , 0) dan v = (v1, 0) Î W dan k Î R.

Jelas u + v = (u1 , 0) + (v1, 0) = (u1+v1, 0) Î W

ku = (ku1 , 0) Î W

Jadi W suatu subruang atau ruang bagian dari R2

LATIHAN

1. Diketahui A = (a, 0, 0) Î V(R). Tunjukkan bahwa A adalah subruang dari R3

2. Dipunyai B = {a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 | ao = 0}. Tunjukka bahwa B subruang dari P3 (Polinomial).

3. Perlihatkan bahwa W = {f(1/3) = 0 | f Î W} adalah subruang vektor dari fungsi-fungsi F

4. Misalkan A adalah suatu vektor dalam R. Misalkan W = {B Î R3 | B . A = 0}. Maka W adalah suatu ruang bagian dari R3 (BUKTIKAN!)

5. Misalkan V suatu ruang vektor atas F (Field) dan misalkan U dan W adalah ruang-ruang bagian. Maka U Ç W adalah ruang bagian pula untuk V (BUKTIKAN!)

SIFAT-SIFAT

● Irisan dua subspace juga merupakan subspace atas field yang sama.

● Gabungan dua subspace merupakan subspace bila yang satu terkandung dalam yang lain.

CONTOH-CONTOH

Manakah yang subspace:

1. V=R3, W={(a,b,c), a,b,c riil}

2. V=R3, W={(a,2b,3c), a,b,c riil}

3. V=R3, W={(a,b,c), a=b=c}

4. V=R3, W= kumpulan bidang di R3 yang melalui (0,0,0)

5. V=R3, W={(a,b,c), a+b+c=0}

6. V=R3, W={(a,b,c), a2+b2+c2 £ 1, a,b,c riil}



7. V=R3, W={(a,b,c), a.b.c rasional}