Basis dan Dimensi

Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk Rⁿ, yang telah kita kenal. Untuk mengenal basis, diperlukan pengertian membangun dan bebas linier. Pengertian membangun telah kita pelajari di materi sebelumnya yaitu kombinasi,bergantung, dan bebas linier . Dengan pengertian bebas linier, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V.

Definisi

Contoh :

Misalkan p(x) = 2 – 3x + x² , q(x) = 1 + x – x² , r(x) = 5 – 5x + x²untuk setiap x real. Karena 2p + g – r = 0 maka {p, q, r} bergantung linier di P₂

Sifat  :

 Definisi :

Ruang vektor tak nol V dikatakan berdimensi hingga, jika V mempunyai basis yang hingga. Banyaknya vektor dalam suatu basis untuk V disebut dimensi (V), disingkat dim(V). dimensi ruang vektor nol didefinisikan nol.

Contoh :

1. Dimensi (Âⁿ) = n sebab memiliki basis yang terdiri dari n vektor.
2. Dimensi (P_n) = n + 1 sebab memiliki basis yang terdiri dari n + 1 vektor
3. Jika M₂ ruang vektor yang terdiri dari matriks 2x2 dengan komponen real maka dimensi (M₂) = 4, sebab M₂ mempunyai basis yang terdiri dari 4 unsur.

Sifat :
     Jika V ruang vektor berdimensi n, maka :

1. Setiap himpunan m vektor di V dengan m > n, senantiasa bergantung linier
2. Setiap himpunan n vektor di V yang bebas linier, membentuk basis untuk V
3. Setiap himpunan n vektor di V yang membangun V, membentuk basis untuk V
4. Setiap himpunan k vektor yang bebas linier di V, dengan k < n dapat diperluas menjadi suatu basis untuk V

Soal Latihan

1.       Diketahui 

      Tunjukkan K ruang bagian dari R³. Kemudian  tentukan suatu basis untuk K

2. Tentukan suatu basis dan dimensi ruang vektor M_mxn

3. Tentukan suatu basis dan dimensi ruang bagian dari P_n, berikut :

a.  {p Î P_n | p (1) = 0}                          b.  {p Î P_n | p’(1) = 0}