Jumpa lagi kawan mathers disini kita lanjutkan pembahasan soal analisis real 1 section 2.1 yang akan membahas soal no 11-20. Simak baik-baik ya kawan:
SOAL:
11). a)Tunjukkan bahwa jika a > 0, maka 1/a > 0 dan 1/(1/a) = a
b) Tunjukkan bahwa jika a < b, maka a < ½ (a + b) < b
12). Misalkan a,b,c,d adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi 0 < a < b dan c < d < 0. Berikan sebuah contoh bilangan-bilangan tersebut yang memenuhi ac < bd. Berikan juga contoh untuk kasus bd < ac,
13). Jika a,b € R, tunjukkan bahwa a2 + b2 = 0 jika dan hanya jika a = 0 dan b = 0
14), Jika 0 ≤ a < b tunjukkan bahwa a2 ≤ a b < b2. Tunjukkan dengan cara memberikan contoh penyangkal bahwa tidak berlaku a2 < a b < b2.
15). Jika 0 < a < b, tunjukkan bahwa
a). a < √ab < b
b). 1/b < 1/a
16). Carilah bilangan-bilangan real x yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan berikut ini:
a. x2 > 3x + 4
b. 1 < x2< 4
c. 1/x < x
d. 1/x < x2
17. Buktikan bahwa jika a € R sedemikian hingga 0 ≤ a ≤ Ô‘ untuk setiap Ô‘ > 0, maka a = 0
18. Misalkan a, b € Rdan anggap bahwa untuk setiap Ô‘ > 0, maka a = 0
19. Buktikan bahwa (1/2 (a + b))2≤ ½ (a2 + b2) untuk semua a,b € R. Buktikan juga bahwa kesamaan dari bentuk tersebut berlaku jika dan hanya jika a = b.
20. (a) Jika 0 < c < 1, Buktikan bahwa 0 < c2 < c < 1
(b) Jika 1 < c, buktikan bahwa 1 < c < c2
PEMBAHASAN/JAWABAN
11.)
12,) Jika dipilih a = 2, b = 3, c = -4 dan d = -2, maka kita tahu bahwa 0 < a < b dan c < d < 0. Kemudian perhatikan bahwa: a c = 2 . (-4) = -8 < -6 = 3 . (-2) = bd. Jika dipilih a = 1/2 , b = 6, c = -2 dan d = -1/2, maka kita tahu bahwa 0 < a < b dan c < d < 0, kemudian perhatikan bahwa: b d = 6 . (1/2) = -3 < -1 = ½ . (-2) = ac
13.) Bukti ke kanan
Jika a, b € R yang memenuhi a2+ b2 = 0, maka a = 0 dan b = 0. Kita akan membuktikan kontraposiisi dari implikasi tersebut benar. Anggap bahwa a ≠ 0 adalah sebarang bilangan real, maka kita tahu bahwa a2 > 0. Sekarang misalkan b adalah sebarang bilangan real yang lain. Jika b = 0, maka a2 + b2 = a2+ 02 = a2 > 0. Jadi, jika a ≠ 0 atau b ≠ 0, maka a2 + b2≠ 0
Bukti ke Kiri
Jika a = 0 dan b = 0, maka a2 + b2 = 02 + 02 = 0
14.) Jika 0 ≤ a < b, maka a € P U { 0 }, b € P dan b – a€ P. Kemudian a b – a2 = a (b – a) € P U {0} hal ini berarti a2 ≤ ab. Selanjutnya, b2 – ab = b (b – a) € P hal ini berarti ab < b2. Jadi dapat disimpulkan a2≤ ab < b2. Dengan memilih a = 0 dan b = 2, kita tahu bahwa 0 ≤ a < b, namun tidak benar bahwa a2 < ab, mengingat a2 = 0 = 0 . 2 = ab.
16. (a) { x : x < - 1 atau x > 4}
(b) {x : 1 < x < 2 atau -2 < x < -1}
(c) {x : -1 < x < 0 atau x > 1}
(d) { x : x < 0 atau x > 1}
17. Anggap bahwa a € R sedemikian hingga 0 ≤ a ≤ Ô‘, untuk semua Ô‘ > 0. Andaikan bahwa a > 0, selanjutnya jika dipilih Ô‘0 = ½ a > 0, maka 0 < Ô‘0 = ½ a < a. hal ini berkontradiksi dengan hipotesis yang mengatakan bahwa 0 ≤ a ≤ Ô‘, untuk semua Ô‘ > o. jadi haruslah a = 0.
18.)
19.)
20.) (a) Jika 0 < c < 1, maka 1 – c > 0, lalu kita dapatkan c – c2 = c (c – 1) > 0. Hal ini berarti c 2 < c. Selanjutnya karena kita tahu bahwa c2 > 0 dan c < 1, maka kita dapat simpulkan bahwa
0 < c2 < c < 1.
(b) Jika 1 < c, maka c – 1 > 0 dan c > 0, selanjutnya kita dapatkan bahwa c2 – c = c (c – 1) > 0. Hal ini berarti bahwa c < c2. Karena 1 < c dan c < c2, maka dapat disimpulkan bahwa 1 < c < c2.
Bagaimana kawan sudah tambah wawasan lagi kan tentang materi analisis real 1 ini? pastinya sudah. nah untuk memperdalam lagi tunggu postingan-postingan tentang anril selanjutnya. Terima kasih atas kunjungannya.
Bagaimana kawan sudah tambah wawasan lagi kan tentang materi analisis real 1 ini? pastinya sudah. nah untuk memperdalam lagi tunggu postingan-postingan tentang anril selanjutnya. Terima kasih atas kunjungannya.
Post a Comment