Persamaan Differensial beserta soal dan pembahasan Lengkap

Persamaan Diferensial adalah persamaan yang di dalamnya terdapat turunan-turunan. Sebagai contoh,

Jika terdapat variabel bebas yang tunggal, seperti pada 1) – 5), turunannya merupakan turunan biasa dan persamaannya disebut persamaan diferensial biasa.

Jika terdapat dua atau lebih variabel bebas, seperti pada 6) – 7), turunannya adalah turunan parsial dan persamaannya disebut persamaan diferensial parsial.

Tingkat (order) persamaan diferensial adalah turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan. Persamaan 1), 3) dan 6) adalah order pertama; 2), 5) dan 7) adalah order kedua; dan 4) adalah order ketiga.

Derajat (degree) persamaan diferensial adalah pangkat dari turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan. Semua contoh diatas merupakan persamaan berderajat pertama kecuali contoh 5) merupakan persamaan berderajat kedua.

Baca Juga: RPP Fungsi Kuadrat

1.1 Pembentukan Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial muncul ketika terjadi perubahan pada suatu besaran, yang biasanya dinyatakan dalam bentuk fungsi matematis. Contoh 1) – 7) merupakan persamaan diferensial yang secara matematis diekspresikan tanpa mengetahui latar belakang terjadinya persamaan tersebut.

Persamaan diferensial dapat dibentuk dari primitifnya (fungsi tanpa turunan) dengan cara menurunkan fungsi tersebut. Jika fungsi itu memuat konstanta-konstanta sebarang maka penurunan ini dapat digunakan untuk mengeliminasi konstanta-konstanta tersebut.

Contoh 1.1

Carilah persamaan diferensial dari

a. Keluarga/rumpun kurva:

b. Keluarga/rumpun lingkaran dengan jari-jari yang berpusat pada sumbu .

Pembahasan:

a. Karena ada dua konstanta sebarang (A dan B) maka dibutuhkan tiga buah persamaan sedemikian sehingga dapat mengeliminir konstanta A dan B dan orde tertinggi dari turunan dalam persamaan ini adalah dua.

b. Persamaan rumpun lingkaran dengan jari-jari r yang berpusat pada sumbu xadalah

Dari sini sebagai konstanta sebarang dan karena itu terdapat dua konstanta sebarang yaitu c dan r . Untuk mengeliminir keduanya dibutuhkan tiga persamaan yaitu:

Persamaan diferensial juga dapat dibentuk dari permasalahan dunia nyata. Dalam rangkaian listrik RC dengan R adalah resistensi dari resistor, E(t) adalah gaya elektromotif yang disediakan oleh generator atau baterai, C adalah kapasitansi dari kapasitor dan Q(t) adalah muatan listrik yang tersimpan dalam kapasitor pada saat t, maka persamaan diferensial hilangnya muatan kapasitor dapat dituliskan sebagai berikut:

1.1 Penyelesaian Persamaan Diferensial

Masalah utama dari persamaan diferensial adalah menentukan penyelesaian PD yaitu suatu fungsi tanpa turunan-turunan dan yang memenuhi persamaan diferensial tersebut. Secara garis besar konsep penyelesaian persamaan diferensial dapat dikategorikan menjadi,

a) Penyelesaian Umum PD (PUPD), yaitu penyelesaian PD yang memuat konstanta-konstanta sebarang yang banyaknya sama dengan tingkat dari PD itu.

b) Penyelesaian Khusus PD (PPPD), yaitu penyelesaian PD yang didapat dari PUPD jika pada konstanta-konstanta sebarangnya diberi nilai tertentu.

Contoh 1.2

Misalkan diberikan sebarang persamaan berikut ini