Pembuktian √2 merupakan Bilangan Irasional Beserta Bukti Geometrisnya (Materi Analisis Real)

Pythagoras Muda

Bilangan irasional √2 telah dikenal oleh pythagoras dan para muridnya, sejak abad ke-5 SM. Bukti klasik yang mengesahkan statusnya sebagai

bilangan irasional berbunyi sebagai berikut: andaikan √2 rasional, yakni terdapat bilangan asli m dan n, dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n = √2. 

Dalam hal ini, kita mempunyai m² = 2n², yang berarti bahwa m₂ genap. Akibatnya, m juga genap, yakni m = 2k untuk suatu bilangan asli k, dan n mestilah ganjil, karena FPB(m,n) = 1. Selanjutnya, substitusikan m = 2k ke persamaan m² = 2n², kita peroleh 4k²= 2n² atau 2k² = n². Ini berarti bahwa n² genap, dan akibatnya n juga genap. Jadi n ganjil dan sekaligus genap, sesuatu yang mustahil dan tidak mungkin terjadi! Karena itu kita simpulkan bahwa √2 tidak mungkin rasional. (bukti seperti ini dikenal sebagai bukti tidak langsung atau bukti dengan kontradiksi).

Prinsip Pythagoras Digunakan dalam Pembangunan Gedung 

Dalam ilmu matematika, sebuah dalil kadang dapat dibuktikan dengan beberapa cara. Untuk itu, selain bukti di atas, terdapat pula bukti geometris yang mengukuhkan irasionalitas √2, sebagai berikut. Andaikan, seperti tadi, terdapat bilangan asli m dan n, dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n = √2. Secara geometris, ini setara dengan eksistensi sebuah segitiga siku-siku sama kaki, ∆ABC, dengan alas dan tinggi sama dengan n dan sisi miring m. Karena FPB(m,n) = 1, segitiga ini merupakan segitiga siku-siku sama kaki terkecil yang ketiga panjang sisinya bilangan asli. Sekarang, tarik busur lingkaran BD dengan titik pusat A, dan tarik garis DE yang menyinggung busur lingkaran di D, seperti pada gambar. Kita peroleh segitiga siku-siku sama kaki ∆CDE, dengan CD = DE = m – n, yang merupakan bilangan asli.

Selanjutnya, bila kita tarik garis AE (tidak diperlihatkan pada gambar), kita peroleh ∆ABE sama dan sebangun dengan ∆ADE. Akibatnya, BE = DE = m – n dan CE = n – (m – n) = 2n – m, yang juga merupakan bilangan asli. Jadi ∆CDE merupakan segitiga siku-siku sama kaki yang lebih kecil daripada ∆ABC dan juga memiliki panjang alas, tinggi, dan sisi miring bilangan asli. Ini bertentangan dengan fakta bahwa ∆ABC merupakan segitiga terkecil yang bersifat demikian. Jadi, pengandaian bahwa √2 rasional mestilah salah. Setelah mencermati pembuktian diatas sobat allmipa menjadi lebih paham bahwa √2 adalah irasional.