Sobat allmipa sudah belajar mengenai deret harmonik pada materi sebelumnya. Namun kita cermati deret di bawah ini;
memang deret di atas mirip dengan deret harmonik, tetapi tandanya berganti antara positif dan negatif, berselang-seling. Deret ini dikenal sebagai deret harmonik berganti tanda.
Berbeda dengan deret harmonik yang divergen, kalau deret ini konvergen . Perhatikan bahwa:
dan seterusnya. Kita peroleh barisan jumlah parsial yang berosilasi. Selanjutnya,
dan seterusnya. Dengan induksi, dapat dibuktikan bahwa
Lebih jauh, kedua sub-barisan ini konvergen ke suatu bilangan yang sama, karena s2n+1 – s2n = 1/(2n+1) menuju 0 ketika n menuju tak terhingga. Dengan deret pangkat untuk arctan x , dapat dibuktikan bahwa deret harmonik berganti tanda konvergen ke π/4. Ternyata tidak saling berkaitan satu sama lain antara deret harmonik dan deret harmonik berganti tanda.
Post a Comment