1. KOMBINASI LINEAR
Definisi
Vektor V dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor v1, v2,…,vn bila w bisa dinyatakan sebagai :
w = k1v1 + k2v2+ … + knvn , dengan k1,k2,…,knadalah skalar.
TEOREMA
CONTOH SOAL KOMBINASI LINEAR
Diketahui a = (1, 2), b = (-2, -3), dan c = (1, 3). Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan b?
Jawab:
Misalkan c merupakan kombinasi linear dari a dan b maka dapat ditentukan dengan c = k1a + k2b
(1, 3) = k1(1, 2) + k2(-2, -3)
(1, 3) = (1k1, 2k1) + (-2k2, -3k2)
Maka dapat dinyatakan 1 = k
1 – 2k
2dan 3 = 2k
1 – 3k
2 Sehingga diperoleh pengenyelesaian k
1= 3 dan k
2 = 1
Jadi c merupakan kombinasi linear dari a dan b, dan dinyatakan dengan c = 3a + b
2. MEMBANGUN (MERENTANG)
Definisi
Himpunan vektor S = {s1, s2, ... , sn} dimana s1, s2, ... , sn Î V disebut membangun jika setiap v Î V, v merupakan kombinasi linear dari S ,yaitu : v = k1s1 + k2s2 +…+ knsn, dengan k1,k2,…,kn adalah skalar.
CONTOH SOAL MEMBANGUN
Vektor-vektor i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) merentang R3.
Jawab :
Misal x = (x1, x2, x3) Є R3sehingga akan dibuktikan k1i + k2j + k3k = x
CONTOH LAIN
● Polinom-polinom 1, x, x2, ... , xnmembangun ruang vektor Pn, karena polinom p pada Pn dapat dituliskan sebagai p = a0+ a1 x + a2 x2 +...+ an xn
● Yang merupakan kombinasi linear dari 1, x, x2, ... , xn
3. BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR
Definisi
Jika S = {v1, v2, v3, ……………,vn}adalah himpunan vector sedemikian sehingga, k1v1+ k2v2 + … + knvn = 0 maka S = {v1, v2, v3,..., vn} disebut :
1. Bebas linier apabila scalar-skalar k1, k2,…,knsemuanya nol.
2. Bergantung linier apabila scalar-skalar k1, k2, k3,…, kn tidak semuanya nol.
CIRI-CIRI BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR
● Himpunan vector S bebas linier jika system persamaan linier hanya mempunyai penyelesaian trivial (nol).
● Himpunan vector S bergantung linier jika system persamaan linier mempunyai persamaan non trivial.
● Vektor S merupakan bebas linear apabila
1. Matrik tersebut det(S) ≠ 0.
2. Ketiga vector tersebut mempunyai invers (sehingga dapat dibalik)
LATIHAN
1. Misal u = (2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3) adalah vektor-vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas
a. h = (4, 2, 6)
b. j = (1, 5, 6)
c. r = (0, 0, 0)
2. Diketahui v =(3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u1= (1,-2,0,3), u2= (2,3,0,-1) dan u3= (2,-1,2,1). Apakah v merupakan kombinasi linear dari u1 , u2 dan u3 ?
3. Apakah polinomial-polinomial berikut ini bebas linier ? p1 = 1 – 2x + 3 x2, p2 = 5 + 6x – x2 , p3 = 3 + 2x + x2
4. Diketahui u=(1,2), v=(2,2), w=(1,3). Tentukan:
a. Apakah u, v dan w membangun R2?