Gambar disamping memberikan suatu wacana pembelajaran, apa yang anda pikirkan? ya, gambar disamping memperlihatkan bahwa terdapat suatu hubungan yang saling berkaitan terhadap orang yang berwarna merah berada di tengah orang-orang dan dihubungkan oleh garis yang saling berhubungan,.
Garis besar Illustrasi gambar itu kesimpulannya adalah contoh nyata dari suatu materi matematika yang dinamakan Relasi
Refleksif (Reflexive)
Definisi :
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) Î R untuk setiap a Î A
Definisi di atas menyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A tetapi tidak terdapat (a,a).
Contoh 1 :
Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
Relasi R = { (1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)
Relasi R = {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak bersifat refleksif karena tidak terdapat (3,3).
Contoh 2 :
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat posifit selalu habis membagi dirinya sendiri, sehingga (a,a) Î R untuk setiap a Î A.
Contoh 3 :
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif
R : x lebih besar dari y
S : x + y = 5
T : 3x + y = 10
Mana diantara ketiga relasi tersebut yang bersifat refleksif ?
Setangkup (Symmetric) dan Tolak-Setangkup (Antisymmetric)
Definisi Setangkup (Symmetric) :
Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a,b) Î R, maka (b,a) Î R , untuk a,b Î A
Definisi di atas menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a,b) Î R sedemikian sehingga (b,a) Ï R.
Contoh :
Misalkan A adalah himpunan mahasiswa Teknik Informatika STIKOM Poltek Cirebon dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika a satu jurusan dengan b.
Maka jika dibalik, b pun se-jurusan dengan a. Jadi bisa dikatakan bahwa R setangkup.
Contoh lain :
Misalkan T adalah relasi pada himpunan bilangan bulat positif sedemikian sehingga (a,b) Î T jika dan hanya jika a ³ b.
Jelas dong...T tidak setangkup, karena misalnya (6,5) Î T tetapi (5,6) Ï T.
Definisi Tolak-Setangkup (antisymmetric) :
Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a,b) Î R dan (b,a) Î R maka a = b, untuk semua a,b Î A.
Definisi di atas menyatakan bahwa jika (a,b) Î R, maka (b,a) Ï R kecuali a = b. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b) Î R dan (b,a) Î R.
Contoh :
Misalkan A adalah himpunan tes seleksi yang diadakan untuk masuk bekerja ke sebuah perusahaan (misalnya tes membaca cepat, tes menulis cepat, tes berjalan cepat, dsb).
Terus.....misalkan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika tes a dilakukan sebelum tes b.
Jadi jelas dong....jika tes a dilakukan sebelum tes b, tes b tidak mungkin dilakukan sebelum tes a untuk dua tes a dan b yang berbeda.
Dengan kata lain, (b,a) Ï R kecuali a = b. Jadi R adalah relasi tolak-setangkup.
Contoh lagi :
Misalkan A = {1,2,3,4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
Relasi R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)} bersifat setangkup karena jika (a,b) Î R maka (b,a) juga Î R.
Disini (1,2) dan (2,1) ÎR, begitu juga (2,4) dan (4,2) Î R.
Relasi R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak setangkup karena (2,3) Î R tetapi (3,2) Ï R
Relasi R = {(1,1), (2,2), (3,3)} tolak-setangkup karena (1,1) Î R dan 1 = 1, (2,2) Î R dan 2 = 2, (3,3) Î R dan 3 = 3.
Betulkah bahwa R juga setangkup ??
Relasi R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} tolak-setangkup karena (1,1) Î R dan 1 = 1, serta (2,2) Î R dan 2 = 2.
Betulkah bahwa R tidak setangkup ??
Relasi R = {(1,1), (2,4), (3,3), (4,2)} tidak tolak-setangkup karena 2 ≠ 4 tetapi (2,4) dan (4,2) anggota R.
Relasi R = {(1,2), (2,3), (1,3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.
Contoh berikutnya :
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tidak setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b.
Misalnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu (2,4) Î R tetapi (4,2) Ï R.
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tolak-setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.
Misalnya, 4 habis membagi 4 maka oleh karena itu (4,4) Î R dan 4 = 4.
Contoh lagi ??
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilanga bulat positif.
R : x lebih besar dari y
S : x + y = 6
T : 3x + y = 10
R bukan relasi setangkup karena, misalnya 5 lebih besar dari 3, tetapi 3 tidak lebih besar dari 5.
S relasi setangkup karena, misalnya (4,2) dan (2,4) adalah anggota S.
T tidak setangkup karena, misalnya (3,1) adalah anggota T tetapi (1,3) bukan anggota T.
S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalnya (4,2) dan (4,2) Î S tetapi 4 ≠ 2.
R dan T keduanya tolak-setangkup.....buktikan !!!
Menghantar (transitive)
Definisi :
Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b) Î R dan (b,c) Î R, maka (a,c) Î R untuk semua a,b,c ÎA
Ilustrasinya :
Misalkan A adalah himpunan orang, dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika b adalah keturunan a.
Jika b adalah keturunan a, yaitu (a,b) Î R, dan c adalah keturunan b, yaitu (b,c) ÎR maka c juga keturunan a, yaitu (a,c) Î R.
Jadi, R adalah relasi menghantar. Tetapi, jika T adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î T jika a adalah ibu dari b, maka T tidak menghantar.
Contoh 1 :
Misalkan A = {1,2,3,4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
a) R = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} bersifat menghantar. Perhatikan tabel berikut :
Pasangan berbentuk
(a,b) | (b,c) | (a,c) |
(3,2) | (2,1) | (3,1) |
(4,2) | (2,1) | (4,1) |
(4,3) | (3,1) | (4,1) |
(4,3) | (3,2) | (4,2) |
b) R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2) Î R, tetapi (2,2) Ï R, begitu juga (4,2) dan (2,3) Î R, tetapi (4,3) Ï R.
c) R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} jelas menghantar.....buktikan !!!
Contoh 2 :
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb.
Disini c = nma, sehingga a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.
Contoh 3 :
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif
R : x lebih besar dari y
S : x + y = 6
T : 3x + y = 10
R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.
S tidak menghantar karena, misalkan (4,2) dan (2,4) adalah anggota S tetapi (4,4) Ï S.
T tidak menghantar karena, misalkan T = {(1,7), (2,4), (3,1)}
Bagaimana kawan, paham bukan penjelasan tentang materi relasi ini? Nah apabila belum paham, janganlah malu-malu untuk bertanya ya kawan! Terima kasih
Post a Comment