Asal - Usul Rumus Hasil Kali Perkalian Skalar

contoh perkalian skalar dalam kehidupan

Sering terjadi dalam buku-buku yang membahas ruang vektor, biasanya ada definisi hasil kali titik (dot product) atau hasil kali skalar (scalar product). Di R_n, hasil kali skalar antara dua vektor x = (x₁, …, x_n) dan y = (y₁, … , y_n) didefinisikan dengan rumus

x ∙ y = xy₁ + … + x_n y_n

Tetapi sering kali si pengarang tidak memberikan penjelasan dari mana rumus tersebut diperoleh atau mengapa rumusnya harus seperti itu. Untuk itu www.allmipa.com akan menjelaskan mengapa hasil kali titik di R_n mempunyai rumus seperti itu.

Misalkan kita mempunyai sebuah garis l di R_n, yang katakanlah (untuk mempermudah pembahasan) melalui titik asal O(0, …, 0) dan A(a₁, …, a_n). Jadi koordinat sebarang titik di l adalah k(a₁, …, a_n) untuk suatu bilangan real k. Misalkan kita juga mempunyai sebuah titik Q(q₁, …, q_n) di luar garis l, dan kita ingin mencari titik P(p₁, …, p_n) pada garis l yang paling dekat ke Q.

Jarak antara titik P(p₁, …, p_n) dan Q(q₁, …, q_n) di R_n dalam hal ini diberikan oleh rumus

Rumus jarak ini merupakan perumusan dari Dalil Pythagoras (terkait segitiga siku-siku).

Nah, mengingat P = kA untuk suatu bilangan real k, persoalan di atas sama saja dengan mencari k sedemikian sehingga |kA – Q|² minimum. 

Tetapi yang merupakan fungsi kuadrat dalam k, dan grafiknya berupa suatu parabola yang terbuka ke atas. Dari pengetahuan tentang fungsi kuadrat, kita tahu bahwa |kA – Q|² akan mencapai minimum apabila

Perhatikan juga bahwa dengan nilai k di atas, kita mempunyai

|kA – O|² + |kA – Q|² = |Q – O|².

Dalam hal ini, vektor OB = OQ – k.OA tegak lurus terhadap vektor k.OA (dan akibatnya OB juga tegak lurus terhadap OA, termasuk ketika k = 0), dan vektor k.OA dikenal sebagai vektor proyeksi dari vektor OQ terhadap vektor OA. Jadi begitulah asal-usul dari perumusan hasil kali skalar.

Nah, karena bentuk penjumlahan hasil kali a₁q₁ + … a_nq_n muncul dalam solusi persoalan yang kita anggap penting, maka kita definisikan hasil kali skalar a₁q₁ + … a_nq_n = a∙q. Jadi rumus ini bukan turun dari langit, tetapi diperoleh dari persoalan mencari titik terdekat.

Dengan rumus hasil kali skalar ini, dua vektor OA dan OB saling tegak lurus jika dan hanya jika a∙b = a₁b₁ + … + a_nb_n = 0.