 |
| partisi bilangan 5 |
Sebelum kita membahas lebih jauh mengenai partisi bilangan, kita harus tahu apa yang dimaksud dengan partisi bilangan? Yang dimaksud dengan
partisi bilangan asli n adalah cara menguraikan n sebagai jumlah dari beberapa bilangan asli (termasuk n sendiri). Sebagai contoh, bilangan 5 dapat diuraikan dalam 7 cara, yaitu:5,
4 + 1,
3 + 2,
3 + 1 + 1,
2 + 2 + 1,
2 + 1 + 1 + 1,
dan 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Kemudian bila p(n) menyatakan banyaknya partisi bilangan n, maka p(5) = 7. (Di sini, 3 + 2 dan 2 + 3 dianggap sebagai satu cara yang sama).
Sobat allmipa mungkin berpikiran, apa yang sulit dengan partisi bilangan asli ini? Namun.. coba hitung berapa p(10), p(25), dan … p(200), seperti yang dikerjakan oleh Ramanujan pada waktu itu.
Ada rumus rekursif untuk menghitung p(n). Jika p(n,m) menyatakan banyaknya partisi bilangan n dengan hanya menggunakan bilangan yang lebih kecil daripada atau sama dengan m, maka:
dengan p(n,m) = p(n,n) = p(n) untuk m > n (dan, untuk melengkapi rumus, kita definisikan p(0,n) = p(0) = 1). Sebagai contoh:
p(5,4) = p(4,1) + p(3,2) + p(2,3) + p(1,4) = 1 + 2 + 2 + 1 = 6.
Untuk n = 0, 1, 2, …, 7 dan m = 1, 2, 3, …, 7, nilai p(n,m) diberikan dalam tabel di bawah ini:
Tabel Nilai p(n,m) untuk n, m = 1,…,7
Tabel ini dapat Anda lanjutkan untuk n dan m lainnya.
Ramanujan dan Hardy menemukan bahwa p(n) membesar hampir secara eksponensial seiring dengan membesarnya n. Persisnya, Ramanujan dan Hardy memperoleh taksiran:
Dengan rumus ini, Anda dapat menaksir bahwa nilai p(200) kira-kira sama dengan 4 trilyun. (Nilai p(200) sebenarnya sama dengan 3.972.999.029.388.)
Bagaimana sobat allmipa? Ternyata partisi bilangan asli tidak semudah yang kita kira bukan? Kalau masih angka satuan atau puluhan begitu masih terlihat mudah namun apabila sudah menginjak ratusan atau ribuan pasti membuat kita berpikir ekstra alias pusing sejuta keliling. Hehe J
Post a Comment