Rahasia Ilmu Eksakta

Pembuktian √2 merupakan Bilangan Irasional Beserta Bukti Geometrisnya (Materi Analisis Real)

Pythagoras MudaBilangan irasional √2 telah dikenal oleh pythagoras dan para muridnya, sejak abad ke-5 SM. Bukti klasik yang mengesahkan statusnya sebagaibilangan irasional berbunyi sebagai berikut: an...

23Feb2017

Teka-Teki Unik Mengenai Pembagian Warisan

February 23, 2017 harta , hitung , Matematika , pembagian , teka-teki , tips , warisan

<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYOFGGlh648pzbDqEEn3TL-Bs5FlpFyERIIZXP64JjKYO5h_OUSwNvhGMQzXtkvySREZuX7xD_xuG_ZwitfepvSSycz_7q7pDAl1DXvOCc7iqvXY4XJbPv7_65CtShGCim82AzYatlVI8/s1600/harta+karun.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="harat warisan" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYOFGGlh648pzbDqEEn3TL-Bs5FlpFyERIIZXP64JjKYO5h_OUSwNvhGMQzXtkvySREZuX7xD_xuG_ZwitfepvSSycz_7q7pDAl1DXvOCc7iqvXY4XJbPv7_65CtShGCim82AzYatlVI8/s1600/harta+karun.jpg" title="harat warisan" /></a></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"> </div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"> </div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Berbicara mengenai hal warisan terkadang membuat hati kita senang, namun ada pula dikala kita membicarakan warisan terasa jengkel serta penuh emosi. Perkara ini dikarenakan ketidakadilan yang menyelimuti pembagian harta warisan. Warisan bisa merubah</div><a name='more'></a> kawan menjadi lawan bahkan bisa merubah saudara menjadi seperti orang lain yang tidak mempunyai hati. Yang bisa menghindari hal-hal negatif itu semua adalah bersabar dan berserah diri kepada Sang Pencipta. Hehe, sudahlah sobat allmipa itu sedikit prolog mengenai harta gono-gini warisan. Sekarang abaikan sejenak, saya akan bermain angka mengenai masalah dalam warisan yang saya buat teka-teki matematika unik.<o:p></o:p> <div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"> </div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Sobat allmipa barang kali pernah mendengar cerita atau teka-teki pembagian warisan seperti berikut. Seorang peternak yang baru saja meninggal mewariskan 17 ekor sapi kepada 3 anaknya. Dalam surat wasiatnya tertulis bahwa anak pertama mendapat 1/2 bagian, anak kedua mendapat 1/3 bagian, dan anak ketiga mendapat 1/9 bagian. Ketiga anak bingung bagaimana mereka harus membagi 17 ekor sapi tersebut. Akhirnya mereka bertanya kepada pamannya.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"> </div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Sang paman mempunyai solusi cemerlang. Ia meminjamkan seekor sapinya, sehingga jumlah sapi menjadi 18 ekor. Setelah itu pembagian pun dilakukan: anak pertama mendapat 1/2 bagian atau 9 ekor sapi, anak kedua mendapat 1/3 bagian atau 6 ekor sapi, dan anak ketiga mendapat 1/9 bagian atau 2 ekor sapi. Jumlah sapiyang dibagikan sama dengan 17 ekor sapi, sisanya 1 ekor sapi dikembalikan kepada pamannya. Kok bisa ya?</div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"> </div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Bila kita hitung: 1/2 + 1/3 + 1/9 = (9 + 6 + 2)/18 = 17/18, ternyata lebih kecil daripada 1. Ada dua hal penting yang perlu diperhatikan dalam hitung-hitungan ini. Pertama, pemilihan bilangan 18 sebagai jumlah sapi yang mudah dibagi (karena mempunyai banyak faktor). Kedua, menguraikan 18 sebagai jumlah dari beberapa faktornya, termasuk 1, yaitu 18 = 9 + 6 + 2 + 1, yang setara dengan 1 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18. Selanjutnya, kita dapat menyusun teka-tekinya dengan ‘menyembunyikan’ suku terakhir yang sama dengan 1/18 itu.</div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"> </div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrQJ1OlG5kgHdsDfid_DYVOKiVlhDWWWpndrsTl71IXAXGZmGHutTaZrgZED_I3y_ZC1X5Vfo-AgmMs5tQpglNdVdPoPEFQShGlLP_e4nm1jAYg7u6PLIuVnpNTnuLBSl_rtB8q4sJEMs/s1600/harta+ternak.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img alt="warisan ternak" border="0" height="276" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrQJ1OlG5kgHdsDfid_DYVOKiVlhDWWWpndrsTl71IXAXGZmGHutTaZrgZED_I3y_ZC1X5Vfo-AgmMs5tQpglNdVdPoPEFQShGlLP_e4nm1jAYg7u6PLIuVnpNTnuLBSl_rtB8q4sJEMs/s640/harta+ternak.jpg" title="warisan ternak" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">warisan ternak</td></tr></tbody></table><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"> </div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Nah, dengan memperhatikan dua hal tersebut, kita dapat membuat cerita serupa dengan bilangan berbeda. Misal kita pilih bilangan 20, lalu kita menguraikannya sebagai 20 = 10 + 5 + 4 + 1, yang setara dengan 1 = 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20. Selanjutnya kita bisa membuat teka-teki berikut: Seorang peternak yang baru saja meninggal mewariskan 19 ekor sapi kepada 3 anaknya. Anak pertama mendapat 1/2 bagian, anak kedua mendapat 1/4 bagian, dan anak ketiga mendapat 1/5 bagian. Bagaimanakah mereka harus membagi habis 19 ekor sapi tersebut, tanpa harus memotong sapinya?</div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"> </div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Bahkan, jumlah anak yang mendapat warisan bisa lebih banyak. Misal kita pilih bilangan 24 = 12 + 6 + 3 + 2 + 1, yang setara dengan 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24. Selanjutnya kita buat teka-teki berikut: Seorang peternak yang baru saja meninggal mewariskan 23 ekor sapikepada 4 anaknya. Anak pertama mendapat 1/2 bagian, anak kedua mendapat 1/4 bagian, anak ketiga mendapat 1/8 bagian, dan anak keempat mendapat 1/12 bagian. Bagaimanakah mereka harus membagi habis 23 ekor sapi tersebut, tanpa harus memotong sapinya?</div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNpJaRPiQ1H-lyFMK447ploUsox8BEogrhakwq5A5BsmDqc7g0qBMd2T73G9u7MLGf2hwwVgEZv7FoUyjb7uC6M3mwBsvaKpu7l_hrelzr2LIWpzntLmi7v608WUy4bAtisQeaAsPdEkI/s1600/warisan.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img alt="Jangan samapi harta warisan memecah persaudarraan anda" border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNpJaRPiQ1H-lyFMK447ploUsox8BEogrhakwq5A5BsmDqc7g0qBMd2T73G9u7MLGf2hwwVgEZv7FoUyjb7uC6M3mwBsvaKpu7l_hrelzr2LIWpzntLmi7v608WUy4bAtisQeaAsPdEkI/s640/warisan.jpg" title="Jangan samapi harta warisan memecah persaudarraan anda" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Jangan samapi harta warisan memecah persaudarraan anda</td></tr></tbody></table><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"> </div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"> </div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Bagaimana sobat allmipa? Setelah mengutak-atik teka-teki mengaenai warisan yang membuat pusing kepala anda jadi semakin terhibur kan? Hehe kalau memikirkan warisan harta yang tidak jelas hnya membuat tambah beban hidup dan beban pikiran, sebaiknya kita bikin lihai saja agar tidak depresi nantinya.<o:p></o:p></div></div>

Berbicara mengenai hal warisan terkadang membuat hati kita senang, namun ada pula dikala kita membicarakan warisan terasa jengkel serta penuh emosi. Perkara ini dikarenakan ketidakadilan yang menyelim...

23Feb2017

Pembuktiaan Ketidakterbatasan Bilangan

February 20, 2017 angka , asli , bilangan , ketidakterbatasan. terhingga , ketidakterhinggaan , korespondensi , Matematika , pembuktian , rasional , real , terbatas

<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguMUvSi31CuIBN4JvH3C_oAEezMi1zwxxyFD2miHC0cw6jjRh8h9rZ2KBhBm7G2Ieqt487ZGiX6kvhXCeCHWVGKpHRnVkokOxkL7uKBTmcHIEQbkfj5q79FlE422hV9eFL1_IjBOe6F10/s1600/kumpulan+angka.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="kumpulan angka" border="0" height="256" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguMUvSi31CuIBN4JvH3C_oAEezMi1zwxxyFD2miHC0cw6jjRh8h9rZ2KBhBm7G2Ieqt487ZGiX6kvhXCeCHWVGKpHRnVkokOxkL7uKBTmcHIEQbkfj5q79FlE422hV9eFL1_IjBOe6F10/s400/kumpulan+angka.jpg" title="kumpulan angka" width="400" /></a></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Pernahkah sobat allmipa berangan maupun berimajinasi tentang Ada berapa sih banyaknya bilangan asli sebenarnya? </div><a name='more'></a>Tak terhingga. Ada berapa banyak bilangan rasional? Tak terhingga juga. Mana yang lebih banyak: bilangan asli atau bilangan rasional? Sama banyak, dalam arti terdapat korespondensi satu-ke-satu di antara kedua himpunan bilangan tersebut. Dengan perkataan lain, bilangan rasional ‘dapat dinomori’ satu-per-satu.<o:p></o:p> <div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnecwFWarpKE3wpIx2DQfgcHoF-ExuVDKhNlYkE3yJgwH6uY74PgZDfDNHPGjFxCgNlBS7NlnSfNkhVLVwMCYRyclpJ5sl4sK_mFAYxJctAitV9uVMeNaHtLFFLzXmydWK8h6euKYIrQk/s1600/batasan+bilangan.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="270" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnecwFWarpKE3wpIx2DQfgcHoF-ExuVDKhNlYkE3yJgwH6uY74PgZDfDNHPGjFxCgNlBS7NlnSfNkhVLVwMCYRyclpJ5sl4sK_mFAYxJctAitV9uVMeNaHtLFFLzXmydWK8h6euKYIrQk/s320/batasan+bilangan.jpg" width="320" /></a></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"><o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Kemudian ada berapa banyak bilangan real? Nah, ini seru! Jawabannya tak terhingga juga, namun rupanya tidak sama dengan ketakterhinggaan himpunan bilangan asli. Bilangan real jauh lebih banyak daripada bilangan asli.<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Dengan menggunakan notasi bilangan desimal, setiap bilangan real x dapat dituliskan sebagai x := a,b1b2b3b4b5b6 … dengan a bilangan bulat dan bi ∊ {0, 1, 2, 3, … , 9}.<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Untuk membuktikan bahwa bilangan real jauh lebih banyak daripada bilangan asli, kita gunakan metode kontradiksi. Andaikan semua bilangan real ‘dapat dinomori’. Dengan perkataan lain, kita dapat mendaftarkannya sebagai {x1, x2, x3, x4, x5, … } dengan:<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">X1 := a1,b11b12b13b14b15b16…<o:p></o:p></div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">X2 := a2,b21b22b23b24b25b26…<o:p></o:p></div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">X3 := a3,b31b32b33b34b35b36…<o:p></o:p></div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">X4 := a4,b41b42b43b44b45b46…<o:p></o:p></div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">X5 := a5,b51b52b53b54b55b56…<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">dan seterusnya. Nah, sekarang kita definisikan bilangan y := 0,c1c2c3c4c5c6… dengan ci := 7 bila 0 ≤ bii ≤ 4, dan ci := 3 bila 5 ≤ bii ≤ 9, untuk setiap i = 1, 2, 3, … , maka bilangan ini tidak terdapat dalam daftar di atas, karena ci = 3 atau 7 dan pasti berbeda dengan bii untuk setiap i. Padahal, y merupakan bilangan real (di antara 0 dan 1). Jadi, bagaimanapun caranya kita berupaya mendaftarkan bilangan real, akan selalu ada bilangan real yang terlewatkan. Himpunan bilangan asli tidak cukup banyak untuk menomori semua bilangan real.<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaZa69hnJ4qD1xBQpPkSp8H6fB5N6BkXyPBtoklPT50OeHqhJmxbJoscjJdtPH1xfTMTUYSxsEp_FuLksHAIymGBDiy9yKS0coHqaQ6PFTbMJBkdnsmqSNmqqpI_KQWHhZ1f_Gs2c23A0/s1600/guru.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="metode guru" border="0" height="188" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaZa69hnJ4qD1xBQpPkSp8H6fB5N6BkXyPBtoklPT50OeHqhJmxbJoscjJdtPH1xfTMTUYSxsEp_FuLksHAIymGBDiy9yKS0coHqaQ6PFTbMJBkdnsmqSNmqqpI_KQWHhZ1f_Gs2c23A0/s400/guru.jpg" title="metode guru" width="400" /></a></div> <div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Metode pembuktian di atas dikenal sebagai Metode Diagonalisasi Cantor, yang dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918). Metode ini dapat dipakai untuk membuktikan secara umum bahwa kardinalitas suatu himpunan selalu lebih kecil daripada kardinalitas himpunan kuasanya. Dengan begitu sudah terbukti ketidakterbatasan suatu bilangan baik dari bilangan asli, maupun bilangan real. <o:p></o:p></div></div>

Pernahkah sobat allmipa berangan maupun berimajinasi tentang Ada berapa sih banyaknya bilangan asli sebenarnya? Tak terhingga. Ada berapa banyak bilangan rasional? Tak terhingga juga. Mana yang lebih ...

20Feb2017

Penjabaran Deret Harmonik Berganti Tanda Beserta Rumus

February 11, 2017 berganti , deret , divergen , harmonik , konvergen , Matematika , Rumus , tanda

<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on"> <div class="entry-content" style="background-color: white; box-sizing: border-box; font-family: "lucida grande", "lucida sans unicode", "lucida sans", geneva, verdana, sans-serif; font-size: 13px; width: 620px;"><div style="box-sizing: border-box; margin-bottom: 2.3rem;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhL9LdKqD4qx2D6nKteqKOtCjZpgqNsoQkUTq_7LXq4XyHTKDJSVRUojNdI7hOS-dHIUd12ERxog25SGorxLSiOW432DLF2msjOiQNvMO4PZrAvUlb9CNus2Rfx65flKSv0HniwIAynHpk/s1600/deret+harmonik.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="deret harmonik berganti tanda" border="0" height="259" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhL9LdKqD4qx2D6nKteqKOtCjZpgqNsoQkUTq_7LXq4XyHTKDJSVRUojNdI7hOS-dHIUd12ERxog25SGorxLSiOW432DLF2msjOiQNvMO4PZrAvUlb9CNus2Rfx65flKSv0HniwIAynHpk/s640/deret+harmonik.jpg" title="deret harmonik berganti tanda" width="640" /></a></div> <div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;">Sobat allmipa sudah belajar <a href="http://www.allmipa.com/2017/02/mencermati-deret-harmonik-yang-membuat.html" target="_blank">mengenai deret harmonik</a> pada materi sebelumnya. Namun kita cermati deret di bawah ini;</div><a name='more'></a> <img alt="deret harmonik berganti tanda" class=" wp-image-588 aligncenter" data-attachment-id="588" data-comments-opened="1" data-image-description="" data-image-meta="{"aperture":"0","credit":"","camera":"","caption":"","created_timestamp":"0","copyright":"","focal_length":"0","iso":"0","shutter_speed":"0","title":"","orientation":"0"}" data-image-title="DERET HARMONIK GANTI TANDA-0" data-large-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-0.png?w=431" data-medium-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-0.png?w=239&h=63" data-orig-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-0.png" data-orig-size="431,113" data-permalink="https://bermatematika.net/2016/05/27/deret-harmonik-berganti-tanda/deret-harmonik-ganti-tanda-0/" height="63" sizes="(max-width: 239px) 100vw, 239px" src="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-0.png?w=239&h=63" srcset="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-0.png?w=239&h=63 239w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-0.png?w=150&h=39 150w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-0.png?w=300&h=79 300w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-0.png 431w" style="border: 0px; box-sizing: border-box; display: block; height: auto; margin: 0.5rem auto; max-width: 100%; text-align: justify; vertical-align: middle;" title="deret harmonik berganti tanda" width="239" /></div><div style="box-sizing: border-box; margin-bottom: 2.3rem;"><div style="text-align: justify;">memang deret di atas mirip dengan deret harmonik, tetapi tandanya berganti antara positif dan negatif, berselang-seling. Deret ini dikenal sebagai deret harmonik berganti tanda.</div></div><div style="box-sizing: border-box; margin-bottom: 2.3rem;"><div style="text-align: justify;">Berbeda dengan deret harmonik yang divergen, kalau deret ini konvergen . Perhatikan bahwa:</div></div><div style="box-sizing: border-box; margin-bottom: 2.3rem;"><img alt="deret harmonik berganti tanda" class=" wp-image-567 aligncenter" data-attachment-id="567" data-comments-opened="1" data-image-description="" data-image-meta="{"aperture":"0","credit":"","camera":"","caption":"","created_timestamp":"0","copyright":"","focal_length":"0","iso":"0","shutter_speed":"0","title":"","orientation":"0"}" data-image-title="DERET HARMONIK GANTI TANDA-2" data-large-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-2.png?w=158&h=208?w=283" data-medium-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-2.png?w=158&h=208?w=229" data-orig-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-2.png?w=158&h=208" data-orig-size="283,371" data-permalink="https://bermatematika.net/2016/05/27/deret-harmonik-berganti-tanda/deret-harmonik-ganti-tanda-2/" height="208" sizes="(max-width: 158px) 100vw, 158px" src="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-2.png?w=158&h=208" srcset="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-2.png?w=158&h=208 158w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-2.png?w=114&h=150 114w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-2.png 283w" style="border: 0px; box-sizing: border-box; display: block; height: auto; margin: 0.5rem auto; max-width: 100%; text-align: justify; vertical-align: middle;" title="deret harmonik berganti tanda" width="158" /></div><div style="box-sizing: border-box; margin-bottom: 2.3rem;"><div style="text-align: justify;">dan seterusnya. Kita peroleh barisan jumlah parsial yang berosilasi. Selanjutnya,</div></div><div style="box-sizing: border-box; margin-bottom: 2.3rem;"><img alt="deret harmonik berganti tanda" class=" wp-image-572 aligncenter" data-attachment-id="572" data-comments-opened="1" data-image-description="" data-image-meta="{"aperture":"0","credit":"","camera":"","caption":"","created_timestamp":"0","copyright":"","focal_length":"0","iso":"0","shutter_speed":"0","title":"","orientation":"0"}" data-image-title="DERET HARMONIK GANTI TANDA-3" data-large-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-3.png?w=237&h=119?w=421" data-medium-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-3.png?w=237&h=119?w=300" data-orig-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-3.png?w=237&h=119" data-orig-size="421,211" data-permalink="https://bermatematika.net/2016/05/27/deret-harmonik-berganti-tanda/deret-harmonik-ganti-tanda-3/" height="119" sizes="(max-width: 237px) 100vw, 237px" src="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-3.png?w=237&h=119" srcset="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-3.png?w=237&h=119 237w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-3.png?w=150&h=75 150w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-3.png?w=300&h=150 300w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-3.png 421w" style="border: 0px; box-sizing: border-box; display: block; height: auto; margin: 0.5rem auto; max-width: 100%; text-align: justify; vertical-align: middle;" title="deret harmonik berganti tanda" width="237" /></div><div style="box-sizing: border-box; margin-bottom: 2.3rem;"><div style="text-align: justify;">dan seterusnya. Dengan induksi, dapat dibuktikan bahwa</div></div><div style="box-sizing: border-box; margin-bottom: 2.3rem;"><img alt="deret harmonik berganti tanda" class=" wp-image-578 aligncenter" data-attachment-id="578" data-comments-opened="1" data-image-description="" data-image-meta="{"aperture":"0","credit":"","camera":"","caption":"","created_timestamp":"0","copyright":"","focal_length":"0","iso":"0","shutter_speed":"0","title":"","orientation":"0"}" data-image-title="DERET HARMONIK GANTI TANDA-4" data-large-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-4.png?w=171&h=78?w=296" data-medium-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-4.png?w=171&h=78?w=296" data-orig-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-4.png?w=171&h=78" data-orig-size="296,135" data-permalink="https://bermatematika.net/2016/05/27/deret-harmonik-berganti-tanda/deret-harmonik-ganti-tanda-4/" height="78" sizes="(max-width: 171px) 100vw, 171px" src="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-4.png?w=171&h=78" srcset="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-4.png?w=171&h=78 171w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-4.png?w=150&h=68 150w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-ganti-tanda-4.png 296w" style="border: 0px; box-sizing: border-box; display: block; height: auto; margin: 0.5rem auto; max-width: 100%; text-align: justify; vertical-align: middle;" title="deret harmonik berganti tanda" width="171" /></div><div style="box-sizing: border-box; margin-bottom: 2.3rem;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQO7Z7pAvOfc7-yeUV4CN-2auaCekbPWnjkqWZCLZRXPyN2MExBohFMu7L4tAuD7knL9b3phLjEMwFu0YDen1Ja1XDE-7bb_jCwT9g34VLp5ub6gNr6Ps26lD9UNiphYZ3Xkobcyidw9w/s1600/bandul+jam.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="deret harmonik berganti tanda" border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQO7Z7pAvOfc7-yeUV4CN-2auaCekbPWnjkqWZCLZRXPyN2MExBohFMu7L4tAuD7knL9b3phLjEMwFu0YDen1Ja1XDE-7bb_jCwT9g34VLp5ub6gNr6Ps26lD9UNiphYZ3Xkobcyidw9w/s400/bandul+jam.jpg" title="deret harmonik berganti tanda" width="136" /></a></div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;">Lebih jauh, kedua sub-barisan ini konvergen ke suatu bilangan yang sama, karena s2n+1 – s2n = 1/(2n+1) menuju 0 ketika n menuju tak terhingga. Dengan deret pangkat untuk arctan x , dapat dibuktikan bahwa deret harmonik berganti tanda konvergen ke π/4. Ternyata tidak saling berkaitan satu sama lain antara deret harmonik dan deret harmonik berganti tanda.</div></div></div></div>

Sobat allmipa sudah belajar mengenai deret harmonik pada materi sebelumnya. Namun kita cermati deret di bawah ini;memang deret di atas mirip dengan deret harmonik, tetapi tandanya berganti antara posi...

11Feb2017

Mencermati Deret Harmonik Yang Membuat pusing Kepala

February 10, 2017 deret , divergen , geometri , harmonik , induksi , konvergen , Matematika , persegi , Rumus

<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on"><div style="background-color: white; box-sizing: border-box; color: #333333; font-family: "Lucida Grande", "Lucida Sans Unicode", "Lucida Sans", Geneva, Verdana, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 2.3rem;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKVS4YLgLua_oCZz2m_FDALecEAb0B7u5iAACxv58OIGKxbz0yapTcyGOUQFMk0GHnWHBWzKJqH0WdITIrhxl_JWosNHDCKfWvYtU9U7sP4MGpo79bIpLsVgm1xAQ57JqzjAvWxLtGLn0/s1600/ayunan.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="penerapan deret harmonik dalam kehidupan" border="0" height="205" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKVS4YLgLua_oCZz2m_FDALecEAb0B7u5iAACxv58OIGKxbz0yapTcyGOUQFMk0GHnWHBWzKJqH0WdITIrhxl_JWosNHDCKfWvYtU9U7sP4MGpo79bIpLsVgm1xAQ57JqzjAvWxLtGLn0/s400/ayunan.jpg" title="penerapan deret harmonik dalam kehidupan" width="400" /></a></div> Berbicara tentang materi deret selain deret geometri dan deret persegi, masih banyak deret yang penting dan menarik untuk dipelajari, di antaranya adalah deret seperti di bawah ini: <a name='more'></a></div><div style="background-color: white; box-sizing: border-box; color: #333333; font-family: "Lucida Grande", "Lucida Sans Unicode", "Lucida Sans", Geneva, Verdana, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 2.3rem;"><img alt="contoh deret harmonik" class=" wp-image-526 aligncenter" data-attachment-id="526" data-comments-opened="1" data-image-description="" data-image-meta="{"aperture":"0","credit":"","camera":"","caption":"","created_timestamp":"0","copyright":"","focal_length":"0","iso":"0","shutter_speed":"0","title":"","orientation":"0"}" data-image-title="DERET HARMONIK-1" data-large-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-1.png?w=382" data-medium-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-1.png?w=190&h=64" data-orig-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-1.png" data-orig-size="382,128" data-permalink="https://bermatematika.net/2016/05/23/deret-harmonik/deret-harmonik-1/" height="64" sizes="(max-width: 190px) 100vw, 190px" src="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-1.png?w=190&h=64" srcset="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-1.png?w=190&h=64 190w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-1.png?w=380&h=127 380w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-1.png?w=150&h=50 150w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-1.png?w=300&h=101 300w" style="border: 0px; box-sizing: border-box; display: block; height: auto; margin: 0.5rem auto; max-width: 100%; vertical-align: middle;" title="contoh deret harmonik" width="190" /></div><div style="background-color: white; box-sizing: border-box; color: #333333; font-family: "Lucida Grande", "Lucida Sans Unicode", "Lucida Sans", Geneva, Verdana, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 2.3rem;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKR3q1WrfTzkxM_oqMtVT6V3ptklsgZ8-RmN1QfK5ing7WG0HaweZ1yUzR7_tAWWMWdxclVx8-xjUDXfBpSM2_eKyHysoPVr6hcLse7yJerpYdNsZWSUcrepiN7gh-fFsl1anES5IMaig/s1600/geraak+harmonik.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="aplikasi deret harmonik" border="0" height="245" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKR3q1WrfTzkxM_oqMtVT6V3ptklsgZ8-RmN1QfK5ing7WG0HaweZ1yUzR7_tAWWMWdxclVx8-xjUDXfBpSM2_eKyHysoPVr6hcLse7yJerpYdNsZWSUcrepiN7gh-fFsl1anES5IMaig/s400/geraak+harmonik.jpg" title="aplikasi deret harmonik" width="400" /></a></div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;">Untuk lebih dimengerti sobat allmipa, Deret ini dinamai deret harmonik, karena suku-sukunya sama dengan panjang gelombang nada-nada tinggi. Namun yang menjadi pertanyaan, Apakah deret ini konvergen? Jawabannya tidak; sekalipun suku-sukunya mengecil dan menuju 0, deret tersebut tetap divergen. Buktinya adalah sebagai berikut. Kita hitung jumlah parsial ke-1, ke-2, ke-4, ke-8, … dari deret tersebut, yaitu:</div></div><div style="background-color: white; box-sizing: border-box; color: #333333; font-family: "Lucida Grande", "Lucida Sans Unicode", "Lucida Sans", Geneva, Verdana, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 2.3rem;"><img alt="hitung jumlah parsial dalam deret harmonik" class=" size-medium wp-image-527 aligncenter" data-attachment-id="527" data-comments-opened="1" data-image-description="" data-image-meta="{"aperture":"0","credit":"","camera":"","caption":"","created_timestamp":"0","copyright":"","focal_length":"0","iso":"0","shutter_speed":"0","title":"","orientation":"0"}" data-image-title="DERET HARMONIK-2" data-large-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-2.png?w=620" data-medium-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-2.png?w=300&h=148" data-orig-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-2.png" data-orig-size="630,311" data-permalink="https://bermatematika.net/2016/05/23/deret-harmonik/deret-harmonik-2/" height="148" sizes="(max-width: 300px) 100vw, 300px" src="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-2.png?w=300&h=148" srcset="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-2.png?w=300&h=148 300w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-2.png?w=600&h=296 600w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-2.png?w=150&h=74 150w" style="border: 0px; box-sizing: border-box; display: block; height: auto; margin: 0.5rem auto; max-width: 100%; vertical-align: middle;" title="hitung jumlah parsial dalam deret harmonik" width="300" /></div><div style="background-color: white; box-sizing: border-box; color: #333333; font-family: "Lucida Grande", "Lucida Sans Unicode", "Lucida Sans", Geneva, Verdana, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 2.3rem;">dan seterusnya. Dengan induksi, kita peroleh;</div><div style="background-color: white; box-sizing: border-box; color: #333333; font-family: "Lucida Grande", "Lucida Sans Unicode", "Lucida Sans", Geneva, Verdana, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 2.3rem;"><img alt="dengan induksi" class="wp-image-532 aligncenter" data-attachment-id="532" data-comments-opened="1" data-image-description="" data-image-meta="{"aperture":"0","credit":"","camera":"","caption":"","created_timestamp":"0","copyright":"","focal_length":"0","iso":"0","shutter_speed":"0","title":"","orientation":"0"}" data-image-title="DERET HARMONIK -3" data-large-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-31.png?w=106&h=48?w=197" data-medium-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-31.png?w=106&h=48?w=197" data-orig-file="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-31.png?w=106&h=48" data-orig-size="197,89" data-permalink="https://bermatematika.net/2016/05/23/deret-harmonik/deret-harmonik-3-2/" height="48" sizes="(max-width: 106px) 100vw, 106px" src="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-31.png?w=106&h=48" srcset="https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-31.png?w=106&h=48 106w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-31.png?w=150&h=68 150w, https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/05/deret-harmonik-31.png 197w" style="border: 0px; box-sizing: border-box; display: block; height: auto; margin: 0.5rem auto; max-width: 100%; vertical-align: middle;" title="dengan induksi" width="106" /></div><div style="background-color: white; box-sizing: border-box; color: #333333; font-family: "Lucida Grande", "Lucida Sans Unicode", "Lucida Sans", Geneva, Verdana, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 2.3rem;">untuk tiap n = 1, 2, 3, …, yang dapat melampaui bilangan besar berapapun. Karena itu, sN menuju tak terhingga ketika N menuju tak terhingga. Ini membuktikan bahwa deret harmonik di atas divergen. Setelah melihat kesimpulan di atas kita menjadi lebih tahu mengenai deret harmonik yang sempat membuat pusing kepala.</div></div>

Berbicara tentang materi deret selain deret geometri dan deret persegi, masih banyak deret yang penting dan menarik untuk dipelajari, di antaranya adalah deret seperti di bawah ini:Untuk lebih dimenge...

10Feb2017

Penjelasan Bilangan Forbenius dan Contoh Penerapannya Dalam Kehidupan

February 09, 2017 angka , bilangan , bulat , contoh , Ferdinand George Frobenius , frobenius , Himpunan , Matematika , penerapan , Rumus

Ferdinand George FrobeniusBilangan Frobenius digunakan Untuk himpunan bilangan bulat positif, bilangan bulat terbesar yang tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear (dengan koefisien bilangan bu...

09Feb2017

Pengertian dan Rumus Partisi Bilangan Asli

February 08, 2017 angka , bilangan , cara , Definisi , Matematika , partisi , Pengertian , Rumus

<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhp0T0xLtWDLrKbDbcPw2qQjk7WR6bB6SciIUBF8C5c50YTwfK6wPEws6xoTqqGr9hlXn11-3vdp6w7FcBtBnNxDERAIW3egD_ZcjqTSQPoTVxyrWb7tvwp_IsIPVEimIFeUdgmfp0B3s/s1600/partisi.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img alt="partisi bilangan 5" border="0" height="182" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhp0T0xLtWDLrKbDbcPw2qQjk7WR6bB6SciIUBF8C5c50YTwfK6wPEws6xoTqqGr9hlXn11-3vdp6w7FcBtBnNxDERAIW3egD_ZcjqTSQPoTVxyrWb7tvwp_IsIPVEimIFeUdgmfp0B3s/s320/partisi.jpg" title="partisi bilangan 5" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">partisi bilangan 5</td></tr></tbody></table><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Sebelum kita membahas lebih jauh mengenai partisi bilangan, kita harus tahu apa yang dimaksud dengan partisi bilangan? Yang dimaksud dengan</div><a name='more'></a> partisi bilangan asli n adalah cara menguraikan n sebagai jumlah dari beberapa bilangan asli (termasuk n sendiri). Sebagai contoh, bilangan 5 dapat diuraikan dalam 7 cara, yaitu: <div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">5,<o:p></o:p></div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">4 + 1,<o:p></o:p></div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">3 + 2,<o:p></o:p></div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">3 + 1 + 1,<o:p></o:p></div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">2 + 2 + 1,<o:p></o:p></div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">2 + 1 + 1 + 1,<o:p></o:p></div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;">dan 1 + 1 + 1 + 1 + 1.<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Kemudian bila p(n) menyatakan banyaknya partisi bilangan n, maka p(5) = 7. (Di sini, 3 + 2 dan 2 + 3 dianggap sebagai satu cara yang sama).<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Sobat allmipa mungkin berpikiran, apa yang sulit dengan partisi bilangan asli ini? Namun.. coba hitung berapa p(10), p(25), dan … p(200), seperti yang dikerjakan oleh Ramanujan pada waktu itu. <o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Ada rumus rekursif untuk menghitung p(n). Jika p(n,m) menyatakan banyaknya partisi bilangan n dengan hanya menggunakan bilangan yang lebih kecil daripada atau sama dengan m, maka:<o:p></o:p></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ9Y9pScEr51qye5B6qerdINOWegNP7_lO5IQPg8o0Me6SsaOhHzKw6mWESrGALgNQidVXdVlFFwABDTQ_3-fdLKraPIOiNM6woNTp8B6gY6f0C2dY3t6y5Ug0MYjr6jhkLh6WTmgDmyE/s1600/partisi+bilangan+1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="92" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ9Y9pScEr51qye5B6qerdINOWegNP7_lO5IQPg8o0Me6SsaOhHzKw6mWESrGALgNQidVXdVlFFwABDTQ_3-fdLKraPIOiNM6woNTp8B6gY6f0C2dY3t6y5Ug0MYjr6jhkLh6WTmgDmyE/s320/partisi+bilangan+1.jpg" width="320" /></a></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;"><o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">dengan p(n,m) = p(n,n) = p(n) untuk m > n (dan, untuk melengkapi rumus, kita definisikan p(0,n) = p(0) = 1). Sebagai contoh:<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">p(5,4) = p(4,1) + p(3,2) + p(2,3) + p(1,4) = 1 + 2 + 2 + 1 = 6.<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Untuk n = 0, 1, 2, …, 7 dan m = 1, 2, 3, …, 7, nilai p(n,m) diberikan dalam tabel di bawah ini:<o:p></o:p></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyNC8gt9X9mIt7j0L_IlcjZGIMe4h6shvimQ5jeG5KnLaKjiSfRAnK4qbL2HYQwyfNZsGlypzpbIDq-BhYj3WkKSMIXevp7039AaKUtD-HIJsgUY2VP_NEY_QB1rNE5XAAgW8xcz4XwF0/s1600/partisi+bilangan+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="233" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyNC8gt9X9mIt7j0L_IlcjZGIMe4h6shvimQ5jeG5KnLaKjiSfRAnK4qbL2HYQwyfNZsGlypzpbIDq-BhYj3WkKSMIXevp7039AaKUtD-HIJsgUY2VP_NEY_QB1rNE5XAAgW8xcz4XwF0/s320/partisi+bilangan+2.jpg" width="320" /></a></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;"><o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Tabel Nilai p(n,m) untuk n, m = 1,…,7<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Tabel ini dapat Anda lanjutkan untuk n dan m lainnya.<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Ramanujan dan Hardy menemukan bahwa p(n) membesar hampir secara eksponensial seiring dengan membesarnya n. Persisnya, Ramanujan dan Hardy memperoleh taksiran:<o:p></o:p></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKIissYMZcuN4yrO-Aobb6G1SLETg2dMm2PURTTBoGUWQaFPXJnD5rpjM0_D2DnaJOG2lqU_qwBefy73ggzTG6EsYzogqWrJFyySklKj9Bz1K-laiJ22DkQWPwSNv_AEF4nLbp0g4D1xY/s1600/partisi+bilangan+3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="64" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKIissYMZcuN4yrO-Aobb6G1SLETg2dMm2PURTTBoGUWQaFPXJnD5rpjM0_D2DnaJOG2lqU_qwBefy73ggzTG6EsYzogqWrJFyySklKj9Bz1K-laiJ22DkQWPwSNv_AEF4nLbp0g4D1xY/s320/partisi+bilangan+3.jpg" width="320" /></a></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div align="center" style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: center;"><o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Dengan rumus ini, Anda dapat menaksir bahwa nilai p(200) kira-kira sama dengan 4 trilyun. (Nilai p(200) sebenarnya sama dengan 3.972.999.029.388.) </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgB4d7cEsE2Z2EXsXripObdNUO5KrTzey-0LIqJcOreFsLqGKpGOX9RW9AVWuhDlfARUa_emiJxcGOFR9NOdNWpu1Pl7OmQCFYRntEx-dfITSVxbZ7Huz9ccy1lU6BI7akxr_UNYPluFRk/s1600/belajar+mat.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="psikomotor matematika" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgB4d7cEsE2Z2EXsXripObdNUO5KrTzey-0LIqJcOreFsLqGKpGOX9RW9AVWuhDlfARUa_emiJxcGOFR9NOdNWpu1Pl7OmQCFYRntEx-dfITSVxbZ7Huz9ccy1lU6BI7akxr_UNYPluFRk/s1600/belajar+mat.jpg" title="psikomotor matematika" /></a></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Bagaimana sobat allmipa? Ternyata partisi bilangan asli tidak semudah yang kita kira bukan? Kalau masih angka satuan atau puluhan begitu masih terlihat mudah namun apabila sudah menginjak ratusan atau ribuan pasti membuat kita berpikir ekstra alias pusing sejuta keliling. Hehe J</div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><o:p></o:p></div></div>

partisi bilangan 5Sebelum kita membahas lebih jauh mengenai partisi bilangan, kita harus tahu apa yang dimaksud dengan partisi bilangan? Yang dimaksud dengan partisi bilangan asli n adalah cara mengur...

08Feb2017

Asal - Usul Rumus Hasil Kali Perkalian Skalar

February 06, 2017 asal-usul , hasil , kali , Matematika , penerapan , proyeksi , Rumus , skalar , Vektor

<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5H-uFxvUKHwttMy1aItzymXiTyrBcEeXuw0Nvtmp2AwE7eHlKbeuAMw4YULry86YIMpd2j3C8gC6pMuc4XgdlfP4_7EZLh2zdjf2RVc2uepprPgoM7uVC349bVnW5ta0gl0UeJITnPRM/s1600/tarik+tambang.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img alt="contoh perkalian skalar dalam kehidupan" border="0" height="316" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5H-uFxvUKHwttMy1aItzymXiTyrBcEeXuw0Nvtmp2AwE7eHlKbeuAMw4YULry86YIMpd2j3C8gC6pMuc4XgdlfP4_7EZLh2zdjf2RVc2uepprPgoM7uVC349bVnW5ta0gl0UeJITnPRM/s640/tarik+tambang.jpg" title="contoh perkalian skalar dalam kehidupan" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">contoh perkalian skalar dalam kehidupan</td></tr></tbody></table><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Sering terjadi dalam buku-buku yang membahas ruang vektor, biasanya ada definisi hasil kali titik (dot product) atau hasil kali skalar (scalar product). Di Rn, hasil kali skalar antara dua vektor x = (x1, …, xn) dan y = (y1, … , yn) didefinisikan dengan rumus</div><a name='more'></a> <div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt; text-align: center;">x ∙ y = xy1 + … + xn yn<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Tetapi sering kali si pengarang tidak memberikan penjelasan dari mana rumus tersebut diperoleh atau mengapa rumusnya harus seperti itu. Untuk itu www.allmipa.com akan menjelaskan mengapa hasil kali titik di Rn mempunyai rumus seperti itu.<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Misalkan kita mempunyai sebuah garis l di Rn, yang katakanlah (untuk mempermudah pembahasan) melalui titik asal O(0, …, 0) dan A(a1, …, an). Jadi koordinat sebarang titik di l adalah k(a1, …, an) untuk suatu bilangan real k. Misalkan kita juga mempunyai sebuah titik Q(q1, …, qn) di luar garis l, dan kita ingin mencari titik P(p1, …, pn) pada garis l yang paling dekat ke Q.<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Jarak antara titik P(p1, …, pn) dan Q(q1, …, qn) di Rn dalam hal ini diberikan oleh rumus<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"><o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipGOsU7MpLKSGnj2lR05CmVGwrxLp4o8CpyWbd8qXPjGxp4siK2bfU4dZD0uH6G3OQafPwhI9uI3KF7kOZQn08RQarrLIt7oNSWXPhV85NWv1jqNYmMqwKF23lFDwFv9ElxH4YDT3Uiss/s1600/hasil+kali+skalar+1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="50" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipGOsU7MpLKSGnj2lR05CmVGwrxLp4o8CpyWbd8qXPjGxp4siK2bfU4dZD0uH6G3OQafPwhI9uI3KF7kOZQn08RQarrLIt7oNSWXPhV85NWv1jqNYmMqwKF23lFDwFv9ElxH4YDT3Uiss/s320/hasil+kali+skalar+1.jpg" width="320" /></a></div> <div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Rumus jarak ini merupakan perumusan dari Dalil Pythagoras (terkait segitiga siku-siku).<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Nah, mengingat P = kA untuk suatu bilangan real k, persoalan di atas sama saja dengan mencari k sedemikian sehingga |kA – Q|2 minimum. </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKApBhfLIO-TS_DpEqYH6BjjbVuTeo0_ukwOiwMR7U-1UxWIsVh7FKm8MZiE5Utr9Ym3YmSJOzwfI2IAZ0qrX7nDs2jIZ6GmNfc5cXgHMaulBMtBGQ9nFLq1Nx3ow4skBvpeMCbVJ4ZwM/s1600/hasil+kali+skalar+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="66" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKApBhfLIO-TS_DpEqYH6BjjbVuTeo0_ukwOiwMR7U-1UxWIsVh7FKm8MZiE5Utr9Ym3YmSJOzwfI2IAZ0qrX7nDs2jIZ6GmNfc5cXgHMaulBMtBGQ9nFLq1Nx3ow4skBvpeMCbVJ4ZwM/s400/hasil+kali+skalar+2.jpg" width="400" /></a></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Tetapi yang merupakan fungsi kuadrat dalam k, dan grafiknya berupa suatu parabola yang terbuka ke atas. Dari pengetahuan tentang fungsi kuadrat, kita tahu bahwa |kA – Q|2 akan mencapai minimum apabila</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnWKfzcrpWIWH-bcpWwRJhFusYaOKVcx8o3RqlB_ar5e4hXkvMJxH3NBO5psE4RUtvcAPlDFc5ma06Yn_gG41ROw3B57zqE2A6_2oIJXY1pDkQHU5hJlCPs1ajopCoMf9YJ-jiC9Uv5qk/s1600/hasil+kali+skalar+3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnWKfzcrpWIWH-bcpWwRJhFusYaOKVcx8o3RqlB_ar5e4hXkvMJxH3NBO5psE4RUtvcAPlDFc5ma06Yn_gG41ROw3B57zqE2A6_2oIJXY1pDkQHU5hJlCPs1ajopCoMf9YJ-jiC9Uv5qk/s1600/hasil+kali+skalar+3.jpg" /></a></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"><o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Perhatikan juga bahwa dengan nilai k di atas, kita mempunyai <o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">|kA – O|2 + |kA – Q|2 = |Q – O|2.<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Dalam hal ini, vektor OB = OQ – k.OA tegak lurus terhadap vektor k.OA (dan akibatnya OB juga tegak lurus terhadap OA, termasuk ketika k = 0), dan vektor k.OA dikenal sebagai vektor proyeksi dari vektor OQ terhadap vektor OA. Jadi begitulah asal-usul dari perumusan hasil kali skalar.<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0cT3Se6q3lpwAvbmWBs3rEwuL_HpVouxbmUKtD5uq7xZZZij0Qw0_zJ8Ykk2pXyDna5MMCvX7F1yeLsMditNHRg-snaL2YRgnF0FtL5_8XIiSRk4M1lvU3rrB9FqLTzTQhnLYRXgYMkE/s1600/vektor+proyeksi.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0cT3Se6q3lpwAvbmWBs3rEwuL_HpVouxbmUKtD5uq7xZZZij0Qw0_zJ8Ykk2pXyDna5MMCvX7F1yeLsMditNHRg-snaL2YRgnF0FtL5_8XIiSRk4M1lvU3rrB9FqLTzTQhnLYRXgYMkE/s1600/vektor+proyeksi.jpg" /></a></div><o:p></o:p> <div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;"> </div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Nah, karena bentuk penjumlahan hasil kali a1q1 + … anqn muncul dalam solusi persoalan yang kita anggap penting, maka kita definisikan hasil kali skalar a1q1 + … anqn = a∙q. Jadi rumus ini bukan turun dari langit, tetapi diperoleh dari persoalan mencari titik terdekat.<o:p></o:p></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Dengan rumus hasil kali skalar ini, dua vektor OA dan OB saling tegak lurus jika dan hanya jika a∙b = a1b1 + … + anbn = 0. <o:p></o:p></div></div>

contoh perkalian skalar dalam kehidupanSering terjadi dalam buku-buku yang membahas ruang vektor, biasanya ada definisi hasil kali titik (dot product) atau hasil kali skalar (scalar product). Di Rn, h...

06Feb2017

Load More Post

Rahasia Ilmu Eksakta

Labels

Technology

Breaking News

February 2017